**I. Tổng quan**

Tập hợp số thực, biểu diễn bằng ký hiệu ℝ (hoặc R), là một trong những hệ thống số nền tảng nhất trong toán học. Nó là một tập hợp rộng lớn hơn tập hợp các số hữu tỉ (ℚ), bao gồm tất cả các số đại số và siêu việt.

Số thực đóng vai trò quan trọng trong nhiều ngành khoa học, bao gồm toán học, vật lý và khoa học máy tính. Chúng được sử dụng để mô hình hóa vô số các hiện tượng trong thế giới thực, từ chuyển động của các hành tinh đến sự dao động của một con lắc.

**II. Định nghĩa**

Tập hợp số thực có thể được định nghĩa theo nhiều cách khác nhau. Một cách phổ biến là định nghĩa chúng là tập hợp các số thập phân vô hạn. Ví dụ, số thực 0,5 có thể được biểu diễn bằng số thập phân vô hạn 0,5000...

Một cách định nghĩa khác liên quan đến các đoạn tuyến phân số. Một đoạn tuyến phân số là một tập hợp các số hữu tỉ nằm giữa hai số hữu tỉ khác nhau. Tập hợp số thực có thể được xác định là tập hợp tất cả các giới hạn của các đoạn tuyến phân số.

**III. Tính chất**

Tập hợp số thực có một số tính chất quan trọng, bao gồm:

* **Tính trật tự:** Số thực có thể được so sánh theo thứ tự lớn hơn hoặc nhỏ hơn (>, <).

* **Tính đầy đủ:** Mọi chuỗi số thực Cauchy đều hội tụ về một số thực.

* **Tính liên tục:** Tập hợp số thực là một không gian liên tục, có nghĩa là nó không có "lỗ hổng" giữa các điểm.

* **Tính vô hạn:** Tập hợp số thực là vô hạn, có nghĩa là nó có vô số phần tử.

**IV. Các loại số thực**

Tập hợp số thực có thể được chia thành các loại khác nhau, bao gồm:

* **Số hữu tỉ:** Số có thể biểu diễn dưới dạng phân số p/q, trong đó p và q là số nguyên.

* **Số vô tỉ:** Số không thể biểu diễn dưới dạng phân số p/q.

* **Số đại số:** Số là nghiệm của một phương trình đa thức với hệ số hữu tỉ.

* **Số siêu việt:** Số không phải là số đại số.

**V. Ứng dụng**

Số thực được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực, bao gồm:

* **Toán học:** Số thực là nền tảng của giải tích, đại số và hình học.

* **Vật lý:** Số thực được sử dụng để mô tả chuyển động, lực và năng lượng.

* **Khoa học máy tính:** Số thực được sử dụng trong mô hình hóa, khoa học dữ liệu và đồ họa máy tính.

* **Tài chính:** Số thực được sử dụng để tính toán lãi suất, xác suất và giá trị ròng.

**VI. Kết luận**

Tập hợp số thực là một hệ thống số vô cùng quan trọng và được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực. Tính đầy đủ, tính liên tục và vô hạn của nó làm cho nó trở thành công cụ thiết yếu để mô hình hóa và hiểu vô số các hiện tượng tự nhiên và do con người tạo ra.